1密码学中的数学知识
密码学算法中很多地方都有提到群，域，有限域等概念，如RSA,ECC,AES中均有提到群操作，有限域等内容，一直对这块内容比较迷糊，专门来梳理一下。
2群(Group)
群指的是元素集合G及G内任意两个元素的联合操作。群的部分公理如下，
1）单位元：Identify Element，在群内存在一个元素e，使得群中任意元素a满足ae=ea=a成立。单位元与群内其他元素结合，不会改变那些元素。
2.）逆元：对于每个属于群G的元素a，都存在一个元素a^(-1)，使得a*a^(-1)=1。a^(-1)就是a的逆元，逆元也属于群G。
3域(Field)
域是拥有特定元素集合。如实数集合R是一个域，每个实数a都有一个逆元。在密码学中，提到最多的是有限域，有限域就是指有限个元素的集合，域内所包含的元素称为这个域的阶。常用的2个域是素域GF(p)和扩展域GF(2^m)。
4素域(Prime Field)
假设p是一个素数(prime)，则素域表示为GF(p)。在素域GF(p)内所有的非零元素都存在逆元，在GF(p)内的加法和乘法都要做模p操作(mod p将计算结果限制在有限域内)，即，
加法定义：a+b=(a+b)mod p
乘法定义：a•b=(a•b)mod p
素域GF内，加法单位元是0，乘法单位元是1。
素域内的加法逆元定义为a+(-a)=0 mod p。素域内的任何一个非零元素a的乘法逆元定义为a*a^(-1)=1 mod p。
例子1有限域GF(5)
如对于有限域GF(5)=,在此有限域内的加法和乘法结果，以及域内加法逆元和乘法逆元。如下图，计算的理解参考图中标注，其中取模的作用就是将计算结果限制在有限域GF(5)之内。
例子2有限域GF(2)
GF(2)是一个最小的有限域，也是一个比较好玩的域，GF(2)=,在此域内的运算都是通过mod 2实现的。
GF(2)的加法，即模2加法，域异或(XOR)门等价。GF(2)乘法与逻辑与(AND)门等价。GF(2)域对AES而言至关重要。
5扩展域GF(2^m)
又叫二元扩域，m>1的域称为扩展域。在扩展域GF(2^m)中，元素使用多项式表示，多项式的系数为GF(2)中的元素。
扩展域GF(2^m)内，零元0用全零比特串表示，乘法单位元1用比特串(00...001)表示。
AES中使用域GF(2^8)，在域内的数字表示为，A(x)=a7 x^7+...+a1 x+a0，其中系数a0~a7均属于GF(2)=。在GF(2^8)中共256个元素，因此有256个对应的多项式。
扩展域中的加减法
《SM2椭圆曲线密码学中的定义》扩展域内两个域元素加法定义为比特串按比特异或运算。如下图就是将x幂次相同的系数进行加减法操作，
按照对应系数做异或运算，因此计算结果中消去了x^4和x^0项。
扩展域中的乘法
扩展域内乘法定义为a•b=a(x)b(x)mod f(x)，其中f(x)称为不可约多项式，扩展域乘法对不可约多项式取模。
什么是不可约多项式呢？
类似于素数p，不能够进行因式的多项式称为不可约多项式。如多项式x^4+x^3+x+1是可约的，因为x^4+x^3+x+1=(x^2+x+1)(x^2+1)，可以做因式分解。AES使用的不可约多项式为x^8+x^4+x^3+x+1。
乘法举例：
计算GF(4)中A(x)=x^3+x1和B(x)=x^2+x相乘，不可约多项式P(x)=x^4+x+1。
首先计算A(x)x B(x)=x^5+x^3+x^2+x，然后对P(x)取模，可用竖式乘法计算，
余数x^3即为乘法结果。
扩展域内的逆操作
给定有限域GF(2^m)和不可约简的多项式P(x)，任何一个属于GF(2^m)内的元素A的逆元定义为:A^(-1)*A=1 mod P(x)。A^(-1)就是A的乘法逆元。计算乘法逆元一般使用扩展欧几里得算法。
6 AES中的S-Box
AES加解密算法中SubBytes字节替换中使用的S-Box盒中包含了GF(8)模P(x)=x^8+x^4+x^3+x+1()的逆元。
由于计算逆元比较复杂，因此AES算法中直接给出了S-Box和逆S-Box(可参考FIPS 197)，加解密过程中通过查表法使用。
对S-Box具体计算感兴趣的小伙伴可参考[4]的6.3.1小节，或者参考[5]的链接，此处不给出计算过程。
S-Box
Inverse S-Box
7参考
《SM2椭圆曲线公钥密码学》第一章.
Understanding Cryptography-A Textbook for Students and Practitioners，Christof paar.
FIPS PUB 197 Specification for the Advanced Encryption Standard(AES),NIST.
Cryptography and Network Security,Principle and Practice,7th Edition
https://blog.csdn.net/u011516178/article/details/81221646
